Bonjour,
si ça fonctionne a nouveau en remuant toutes les connexions, et si vous trouvez une combinaison qui donne 13,8V à vide sur le fil destiné a la lampe , c'est un transfo qui donne du 12V (un transfo en 12v donne en général 13,5 à 14V a vide , c'est un grand classique ...), et vous avez des faux contacts quelques part (refaire toutes les soudures , y compris celles des sorties d'enroulements en fil émaillés sur les différentes cosses de la carcasse isolante , il y a surement eu quelque chose de plus ou moins dessoudé, là aussi c'est un grand classique ...)
la lampe a utiliser est vraisemblablement une halogène 12V , 20W, culot GU5,3 (lampe courante et approprié pour un transfo de cette taille) lampes qui existent soit sous forme d' une "capsule" nue (si le luminaire a une optique avec réflecteur, et verre ou diffuseur ), soit une lampe à réflecteur dichroïque (si le luminaire a une douille sans optique ) la plupart des petites lampes d'éclairage machine sont équipé de ces lampes halogène 12V
... a moins que ce soit prévu pour une petite lampe à baïonnette de 15mm (autre éventualité probable si c'est ancien) , auquel cas, on peut utiliser une lampe de stop de voiture de 12V 18 ou 21 W (lampe poirette, culot Ba15s ) si la douille n'existe plus, récupérer une douille de vieille voiture (vieilles voitures d'au moins 40 ans , a douilles métalliques, car sur les véhicules récents, la douille est en plastique moulé et faisant partie intégrante du feu, ce qui rend impossible toute récupération et adaptation ! )
sloup