Merci à tous pour vos réponses et éclaircissement.
La photo que j'ai mis est surtout pour expliquer la déperpendicularité du mors par rapport à l'axe "virtuel" de la plage d'usinage, c-à-d, celui de la contre-pointe.
Avec vos explications, je confirme que le mandrin a vraiment vécu, car en essayant d'ouvrir les mors à fond, à un moment, cela force anormalement (certainement l'escargot déformé). Je précise que le tour par lui-même a certainement souffert car il y a la lyre qui a été cassée et ressoudée, et certains pignons ont des morceaux de dents en moins.
Par contre, pour montrer la difficulté de pouvoir remettre une pièce dans l'axe de la contre-pointe, je vous posterais des photos explicatives avec comparateur notamment. Et une fois, le désalignement était d'environ 1mm au rayon, c'est énorme.
Ce qui m'a obligé à refaire la pièce en usinant d'une traite sans démontage.
Il faudra d'ailleurs que je reprenne l'ensemble des réglages des lardons car il est très difficile d'arriver à faire de la répétabilité sur une même position de vernier.
Pour préciser un peu l'âge du tour (1949 sur la plaque moteur), je l'ai racheté au fiston d'un monsieur décédé. Ce dernier avait une entreprise de mécanique générale.
J'essaie ce soir de faire les photos, sinon, demain.