Bonjour,
Le message va être un peu long !
Calculs table KT150
Les mesures de forces sur les axes ont été faites avec un peson de précision de capacité 50N max.
La table croisée n'est pas chargée !
Mesure des couples sur X, Z et Y:
Axe des X:
R[sub]x[/sub]= 0.0205 m (Rayon d'enroulement ficelle sur manivelle)
F[sub]Tx1[/sub] = 5,5 N (Vissage) (moyenne de plusieurs mesures)
F[sub]Tx2[/sub] = 5 N (Dévissage) (moyenne de plusieurs mesures)
C[sub]x1[/sub] = F[sub]Tx1[/sub] . R[sub]x[/sub] = 0,0205 . 5,5 = 0,11275 N.m
C[sub]x2[/sub] = F[sub]Tx2[/sub] . R[sub]x[/sub] = 0,0205 . 5 = 0,1025 N.m
Axe des Z:
R[sub]z[/sub]= 0.0205 m (Rayon d'enroulement ficelle sur manivelle)
F[sub]Tz1[/sub] = 4,5 N (Vissage) (moyenne de plusieurs mesures)
F[sub]Tz2[/sub] = 4 N (Dévissage) (moyenne de plusieurs mesures)
C[sub]z1[/sub] = F[sub]Tz1[/sub] . R[sub]z[/sub] = 0,0205 . 4,5 = 0,09225 N.m
C[sub]z2[/sub] = F[sub]Tz2[/sub] . R[sub]z[/sub] = 0,0205 . 4 = 0,082 N.m
Axe des Y:
R[sub]y[/sub]= 0.01 m (Rayon d'enroulement ficelle sur manivelle)
F[sub]Ty1[/sub] = 40 N (Vissage) (moyenne de plusieurs mesures)
F[sub]Ty2[/sub] = 17 N (Dévissage) (moyenne de plusieurs mesures)
C[sub]y1[/sub] = F[sub]Ty1[/sub] . R[sub]y[/sub] = 0,01 . 40 = 0,4 N.m
C[sub]y2[/sub] = F[sub]Ty2[/sub] . R[sub]y[/sub] = 0,01 . 17 = 0,17 N.m
La différence entre C[sub]y1[/sub] et C[sub]y2[/sub] est due au ressort de rappel.
Nous avons donc:
C[sub]x1[/sub] = 0,11275 N.m
C[sub]x2[/sub] = 0,1025 N.m
C[sub]z1[/sub] = 0,09225 N.m
C[sub]z2[/sub] = 0,082 N.m
C[sub]y1[/sub] = 0,4 N.m
C[sub]y2[/sub] = 0,17 N.m
Données vis-mère des trois axes:
D = 0,01 m
p = 0,002 m
r[sub]m[/sub] = (D - p) / 2 = (0,01 - 0,002) / 2 = 0,004 m
tan α = p / (2 . π . r[sub]m[/sub] )
soit, tan α = 0,002 / ((2 . π . 0,004 ) = 0,1 d'ou α = 4,55°
Nous prenons tan φ = 0,1 (hypothèse frottement acier-bronze) soit φ = 5,71°
Calculs des forces induites
La relation qui gouverne la force F produite par un couple C sur une vis est:
F = C / (r[sub]m[/sub] . tan (α + φ)
Dans notre cas :
α + φ = 4,55 + 5,71 = 10,26°
r[sub]m[/sub] = 0,004 m
D'ou, F = C . 1381,08
Ainsi, sur X, Z et Y nous avons:
F[sub]x1[/sub] = 155,71677 N
F[sub]x2[/sub] = 141,5607 N
F[sub]z1[/sub] = 127,40 N
F[sub]z2[/sub] = 113,24856 N
F[sub]y1[/sub] = 552,43 N
F[sub]y2[/sub] = 234,78 N
Mesure des masses en mouvement et des forces de traction nécessaires à leurs mise en mouvement
Les mesures ont été faites au peson, directement attaché à la masse mobile à mesurer.
Dans ce cas seuls les axes X et Z ont été mesurés.
Masse de la masse mobile sur X :
m[sub]x[/sub] = 2,491 kg
soit:
P[sub]x[/sub]= 2,491 . 9,81 = 24,43671 N
Masse de la masse mobile sur Z :
m[sub]z[/sub] = 1,374 kg
soit:
P[sub]y[/sub] = 1,374 . 9,91 = 13,47894 N
Force de traction nécessaire à la mise en mouvement de la masse mobile sur X :
F[sub]TRx[/sub] = 43,5 N (moyenne de plusieurs mesures)
Force de traction nécessaire à la mise en mouvement de la masse mobile sur Z :
F[sub]TRz[/sub] = 35 N (moyenne de plusieurs mesures)
Mesure des couples, des masses en mouvement et des forces de traction nécessaires à la mise en mouvement de la table chargée à 9,9 kg
C[sub]x1'[/sub] = C[sub]x2'[/sub] = +/- 6 N (moyenne de plusieurs mesures)
C[sub]z1'[/sub] = C[sub]z2'[/sub] = +/- 4,5 N (moyenne de plusieurs mesures)
P'[sub]x[/sub] = P[sub]x[/sub] + 9,9 . 9,81 = 122,549 N
P'[sub]z[/sub] = P[sub]z[/sub] + 9,9 . 9,81 = 111,589 N
F'[sub]TRx[/sub] = 46,83 N (moyenne de plusieurs mesures)
F'[sub]TRz[/sub] = 36,8 N (moyenne de plusieurs mesures)
On peut remarquer que pour une variation très grande de P, la variation de F[sub]TR[/sub] est quasiment insignifiante.
Calculs des coefficient d'adhérence des liaisons queue d'aronde des masses mobiles
Les frictions sur queue d'aronde sont indépendantes de la surface de friction.
Par contre les forces exercées par les vis de régale du jeu sont à prendre en compte.
Nous notons f[sub]s[/sub] le coefficient d'adhérence qui s'exerce sur les axes.
Nous aurons donc f[sub]sx[/sub] sur X et f[sub]sz[/sub] sur Z.
Ces coefficient de frottement sont indépendants des forces exercées sur les liaisons.
De même, les forces exercées par les vis de pression (F[sub]p[/sub])reste les mêmes quelque soit la charge appliquée sur la table.
Ainsi nous avons :
Sur X :
F[sub]TRx[/sub] = f[sub]sx[/sub] . (P[sub]x[/sub] + F[sub]px[/sub])
F'[sub]TRx[/sub] = f[sub]sx[/sub] . (P'[sub]x[/sub] + F[sub]px[/sub])
d'ou :
43,5 = f[sub]sx[/sub] ( 24,43671 + F[sub]px[/sub])
46,83 = f[sub]sx[/sub] (122,549 + F[sub]px[/sub])
donc :
f[sub]sx[/sub] = 0.033941 et F[sub]px[/sub] = 1257,16 N
Sur Z :
F[sub]TRz[/sub] = f[sub]sz[/sub] . (P[sub]x[/sub] + F[sub]px[/sub])
F'[sub]TRz[/sub] = f[sub]sz[/sub] . (P'[sub]z[/sub] + F[sub]pz[/sub])
d'ou :
35 = f[sub]sz[/sub] ( 13,47894 + F[sub]pz[/sub])
36,8 = f[sub]sz[/sub] (111,589 + F[sub]pz[/sub])
donc :
f[sub]sz[/sub] = 0.01835 et F[sub]pz[/sub] = 1893,87 N
Les valeurs f[sub]sx[/sub] et f[sub]sz[/sub] sont basses.
Ces valeurs sont à confirmer !
L'ordre de grandeur de ces valeurs semble correct comparé au coefficient f[sub]s[/sub] d'un rail à chariot à billes f[sub]s.chariot[/sub] = 0.003 (suivant le type)
Prise en compte des liaisons vis/butées axiales
Sur X et Z les butées axiales sont constituées par deux rondelles de frottement.
Leurs dimensions sont:
R[sub]int[/sub] = 0.0051 m
R[sub]ext[/sub] = 0.008 m
La relation qui gouverne le couple s'opposant à la rotation fonction de la force appliquée sur la rondelle est:
C[sub]butée[/sub] = (2/3) . μ[sub]s[/sub] . F . (R[sub]ext[/sub] 3 - R[sub]int[/sub] 3 ) / (R[sub]ext[/sub] 2 - R[sub]int[/sub] 2 )
Avec les données ci-dessus et en prenant μ[sub]s[/sub] = 0,12
Nous avons :
C[sub]butée[/sub] = 7,98832 E -4 . F
Donc sur X :
F = F[sub]TRx[/sub] = 43,5 N
d'ou : C[sub]butéeX[/sub] = 0,03475 N.m
Et sur Z :
F = F[sub]TRz[/sub] = 35 N
d'ou : C[sub]butéeZ[/sub] = 0,02796 N.m
Ainsi donc, le couple utile appliqué sur les vis-mère de X et Z sont :
C[sub]utile.x1[/sub] = C[sub]x1[/sub] - C[sub]butéeX[/sub] = 0,078 N.m
C[sub]utile.x2[/sub] = C[sub]x2[/sub] - C[sub]butéeX[/sub] = 0,06775 N.m
C[sub]utile.z1[/sub] = C[sub]z1[/sub] - C[sub]butéeZ[/sub] = 0,0643 N.m
C[sub]utile.z2[/sub] = C[sub]z2[/sub] - C[sub]butéeZ[/sub] = 0,054 N.m
Rétro-calcul de φ fonction des couples utiles calculés
C[sub]utile[/sub] / (r[sub]m[/sub] tan ( α + φ)) = F[sub]TR[/sub]
avec r[sub]m[/sub] = 0,004 et α = 4,55°
Donc sur X :
C[sub]utile.x1[/sub] / (0,004 . tan (4,55 + φ[sub]1[/sub]) = F[sub]TRx[/sub]
et
C[sub]utile.x2[/sub] / (0,004 . tan (4,55 + φ[sub]2[/sub]) = F[sub]TRx[/sub]
d'ou :
tan (4,55 + φ[sub]1[/sub]) = 0,4483 (Vissage)
tan (4,55 + φ[sub]2[/sub]) = 0,3893 (Dévissage)
Et sur Z :
C[sub]utile.z1[/sub] / (0,004 . tan (4,55 + φ[sub]3[/sub]) = F[sub]TRx[/sub]
et
C[sub]utile.z2[/sub] / (0,004 . tan (4,55 + φ[sub]4[/sub]) = F[sub]TRx[/sub]
d'ou :
tan (4,55 + φ[sub]3[/sub]) = 0,4593 (Vissage)
tan (4,55 + φ[sub]4[/sub]) = 0,3857 (Dévissage)
Ainsi donc par résolution graphique nous avons :
- sur X :
φ[sub]1[/sub] = 19,58 °
φ[sub]2[/sub] = 16,74°
- sur Z :
φ[sub]3[/sub] = 20,15 °
φ[sub]4[/sub] = 16,55°
Ce qui donne en moyenne:
- Vissage : φ[sub]vissage[/sub] = 19,865° ou tan (φ[sub]vissage[/sub]) = 0,36
- Dévissage : φ[sub]dévissage[/sub] = 16,645 ° ou tan (φ[sub]dévissage[/sub]) = 0,3
Ces valeurs sont élevées et peuvent être la conséquence du faux rond de l'alésage guide de vis-mère.
Conclusion intermédiaire :
Le guidage par queue d'aronde ne peut être amélioré ou tout du moins très difficilement (Affirmation que je soumets à caution !).
Par contre l'amélioration, consistant à remplacer les butées de frottement à base de rondelles par des butée à billes et à mettre en place un guidage radial de la vis-mère en utilisant un roulement à contact radial, permettra sans doute un gain non négligeable.
En effet, le coefficient de frottement d'une butée à bille ainsi que d'un roulement à contact radial est compris entre 1.10 -3 et 1,5.10 -3 .
A comparer au 0,12 correspondant (théoriquement) au coefficient d'adhérence d'une liaison acier/bronze ou acier/alu.
En sus, le guidage radial de la vis-mère permettra sans doute d'abaisser la valeur de tan (4,55 + φ) et donc de gagner en rendement.
Celui-ci étant exprimé par la relation :
η = tan (α) / tan (α + φ)
Plus la valeur de φ baisse, plus le rendement augmente.
Précisions :
Je ne prends pas en compte les moments d'inertie des ensembles tournants et des masses mobiles.
Influence des vitesses de déplacement et des accélérations
Comme énoncé dans un des post ci-dessus, ma table KT150 peut parcourir 0,15 m sur X et un peu moins sur Z.
Je considère que le calcul sur X est valable sur Z malgré la course moindre et les masses déplacées inférieures (de peu).
Je souhaite avoir un temps de déplacement de 0 à 0,15 m égal à 2 secondes.
Ce qui donne une vitesse de la table V[sub]dx[/sub] = 0,075 m.s -1
Le pas de la vis-mère est de p = 0,002 m.
Cela donne une vitesse de rotation de la vis-mère V[sub]rx[/sub]= V[sub]dx[/sub] / p = 37,5 tr.s -1 .
Ou une vitesse angulaire
ω = 235,62 rad.s -1
Imaginons maintenant que je souhaite avoir un temps d'accélération t[sub]a[/sub] de 0 m.s -1 à 0,075 m.s -1 égal à 0,25 s.
L'accélération sera donc de :
a[sub]x[/sub] = V[sub]dx[/sub] / t[sub]a[/sub]
a[sub]x[/sub] = 0,075 / 0,25 = 0,3 m.s -2
De plus l'accélération angulaire de la vis-mère sera de :
ω' =
ω / t[sub]a[/sub]
ω' = 235,62 / 0,25 = 942,48 rad.s -2
Cette accélération induit une force qui s'oppose au déplacement lors de l'accélération et de la décélération.
Cette force est liée à l'accélération et à la masse par la relation :
F = m . a
En prenant comme masse celle de la table chargée à m'x = 9,9 kg (le grand maximum = table rotative + masse à usinée), nous avons :
m''[sub]x[/sub] = m[sub]x[/sub] + m'[sub]x[/sub] = 2,491 + 9,9 = 12,391 kg
d'ou :
F = m''x . a = 12,391 . 0.3 = 3,7173 N
F est une force axial, nous la notons F[sub]ax[/sub]
F[sub]ax[/sub] = 3,7173 N
Cette force semble être négligeable.
Elle viendra s'ajouter à la charge axiale des butées à billes ainsi qu'au calcul du couple nécessaire en sortie de PAP.
Nous avons donc:
- Sur X :
F''[sub]TRx[/sub] = f[sub]sx[/sub] . (P'x + Fpx) + F[sub]ax[/sub]
avec :
f[sub]sx[/sub] = 0.033941
F[sub]px[/sub] = 1257,16 N
F[sub]ax[/sub] = 3,7173 N
soit :
F''[sub]TRx[/sub] = 0,033941 (122,549 + 1257,16) + 3,7173 =
50,54 N
Cette force permettra de calculer le couple s'opposant à la rotation au niveau des butées à billes.
F''[sub]TRx[/sub] permettra aussi de calculer le couple nécessaire en sortie d'arbre PAP.
Calculs du moment de frottement total au niveau d'une butée à bille
(en ligne
http://www.skf.com/portal/skf/home/products?maincatalogue=1&lang=fr&newlink=1_0_37b)
Une butée à bille doit être soumise à une précharge F[sub]am[/sub].
F[sub]am[/sub] = A . (n /1000) avec,
F[sub]am[/sub] en kN
A, le facteur de charge minimal
n, la vitesse de rotation en tr.min -1
Dans notre cas, butée à bille Dia int = 10 mm / Dia ext = 18 mm / e =5,5mm, A est environ égal égal à 0,000075 et n est égal à 2250 tr.min -1 d'ou :
F[sub]am[/sub] =0.000075 . 2,250 = 1,6875E -4 kN =
0,16875 N
Le calcul en ligne (site de SKF) du moment de frottement total pour une butée à billes soumise à F"[sub]TRx[/sub] donne 2,82 N.mm soit :
C[sub]oppositionX[/sub] = 0,00282 N.m
Autant dire RIEN !
Surtout si l'on compare cela avec le couple d'opposition engendré par une rondelle de frottement :
C[sub]butéeX[/sub] = 7,98832 E-4 . F"[sub]TRx[/sub] = 7,98832 E-4 . 50,54 = 0.04 N.m
On s'aperçoit que la butée à bille permet une diminution du couple d'opposition d'un facteur 15 !
C'est pas mal du tout !!!!
Calculs des moments d'inertie ramené à l'axe de rotation de la vis-mère en X
Calculs du moment d'inertie de la vis mère sur son axe de rotation :
m[sub]vis-mère[/sub] = 135 g = 0,135 kg
D[sub]vis-mère[/sub] = 0.01 m
J[sub]axe.rotation[/sub] = m[sub]vis-mère[/sub] . D[sub]vis-mère[/sub] 2 / 8
soit :
J[sub]axe.rotation[/sub] = 0,135 . 0,01 2 / 8 = 1,6875.10 -6 kg.m 2
Calculs du couple requis pour l'accélération prévue :
La formule qui suit est une adaptation de la formule donnée par THK Application Note 15-057.
C[sub]accélération[/sub] = J . ω' avec :
C[sub]accélération[/sub] en N.m
J en kg.m²
ω' en rad.s -2
Dans notre cas, ω' = 942,48 rad.s -2 et J est donné par :
J = m (p / (2 . π) 2 . A 2 . 10 -6 + J[sub]axe.rotation[/sub] . A 2
avec :
m la masse transférée en kg
p le pas de la vis-mère en mm
A le rapport de réduction = à 1 dans notre cas
J[sub]axe.rotation[/sub] le moment d'inertie de la vis-mère.
D'ou :
J = m''[sub]x[/sub] . (2 / (2 . π) 2 . 10 -6 + 1,6875.10 -6
m''[sub]x[/sub] = 12,391 kg
J = 2,943.10 -6 kg.m² = 2,9.10 -5 N.m² >
[bcolor=#FF0000]Cette valeur sert à choisir le moteur pas à pas. Le rotor de celui-ci doit avoir un moment d'inertie (habituellement mentionné en gf.cm ou kgf.cm) supérieur au moment d'inertie total des masses ramené à l'axe de rotation de la vis-mère. SOUMIS A CAUTION ![/bcolor]
C[sub]accélération[/sub] = J . ω' donc,
C[sub]accélération[/sub] = 2,943.10-6 . 942,48 = 0,00277 N.m
Ce couple sera à ajouter au couple de rotation sous charge et au couple d'opposition généré par les butées à bille.
Reprise des calculs afin de trouver le couple max à fournir en bout de vis-mère
C[sub]accélération[/sub] = 0,00277 N.m > Couple nécessaire afin d'atteindre les valeurs d'accélération de 0,3 m.s -2
C[sub]oppositionX[/sub] = 0,00282 N.m > Butée à bille
F"[sub]TRx[/sub] = 50,54 N > Force nécessaire à la mise en mouvement et à l'accélération des masses mobiles sur X
f[sub]vissage[/sub] = 19,865° et tan (f[sub]vissage[/sub]) = 0,36
d'ou :
C[sub]rotationX[/sub]= F"[sub]TRx[/sub] . rm . tan (4,55 + 19,865°)
C[sub]rotationX[/sub]= 50,54 . 0,004 . 0,454 = 0,092 N.m
C[sub]Total[/sub] = C[sub]rotationX[/sub] + C[sub]oppositionX[/sub] + C[sub]accélération[/sub]
C[sub]Total[/sub] = 0,00277 + 0,00282 + 0,092 = 0,097 N.m
En prenant un facteur de sécurité de 2, sans démultiplication et sans prendre en compte le moment d'inertie du rotor du moteur PAP, le couple max devant être fourni par les moteur PAP sur X est de : 0,2 N.m