Phases de pignons

  • Auteur de la discussion SerPat
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DA l'Auvergnat
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Ouvrier
Bonjour
Oulala : impressionnant : 6.3 Interférences de fonctionnement (page 53), et page 68,. l'interférence secondaire. Je ne me sens pas capable d'absorber le contenu de ce cours / cet ouvrage :-(
Moi non plus!
Si la compréhension de ce cours et très ardue en revanche l'utilisation du logiciel est très simple, à la portée du commun des mortels c'est bien entre autre la force de ce logiciel.
Un linuxien sait si le logiciel Filengrene 10.3 fonctionne avec Wine ?
André Mayer pseudo "Méandre" a ouvert une discussion sur "Filengrene CFAO pour engrenage"
https://www.usinages.com/threads/filengrene-cfao-pour-les-engrenages.129655/page-5 #145
Il me semble que la réponse est: malheureusement non ,il faut Windows 10.
Les engrenages que j'ai utilisés ont été dessinés à l'aide de FreeCad : peut-être que ce logiciel considère ce problème d'interférence ?
Je ne connais pas particulièrement ce logiciel mais c'est un simple logiciel de dessin et non un logiciel de conception contrairement à Filengrène qui résout ce problème en toute simplicité.
 
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Méandre
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Apprenti
Bonjour à tous

J'arrive sur cette discussion (un peu trop tard) sur l'invitation de SerPat que je salue.
SerPat me demande d'apporter ma contribution au problème posé. Mais si j'ai bien lu vos interventions, il me semble que tout a été dit (et bien dit) par Henri IV, Jmr06, Sulren et les autres. Je n'ai pas de "lumières" particulières à y apporter.
Comme Sulren je suis épaté par la réactivité et l'esprit d'entraide qui règne sur ce forum. Bravo. Je regrette de ne pas y être plus présent.
Je ne voudrais pas polluer ce post intéressant pour répondre aux dernières questions sur Filengrène et "mon cours". Allez plutôt sur la discussion "Filengrene CFAO pour engrenage" (que je surveille) :
 
SerPat
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Pour la solution, c'est approximations successives et pas mieux.
Grands mercis à tous les "posteurs".
 
SerPat
SerPat
Nouveau
Bonjour tous,

Il fut plus que laborieux de formaliser le travail ci-dessous. J'espère que mes explications sont compréhensibles. Il manque le remplissage "par le calcul" des angles δ2 et δ3, dans le tableau. Si un amateur de géométrie est intéressé… cela me permettrait d’envisager l’écriture d’un logiciel faisant la ou les approximations successives lui-même.

--------

Rappels :​

La fonction modulo permet de trouver le reste d'une division. Par exemple, le résultat de modulo 12 par 5 est 2. Il existe au moins deux manières d'écrire cela, suivant la syntaxe liée au langage utilisé :
  • MOD(12;5)
  • resultat = 12 % 5
Le tableur LibreOffice utilise la première syntaxe.
Autres caractères utilisés :
  • -> "multiplié par"
  • ։ -> "Divisé par" (je n'ai pas retrouvé le même symbole mais avec un tiret horizontal au centre, typique des calculatrices !)
  • α -> "alfa" : utilisé ici (hors Filengrene) comme angle initialement donné à une roue α (sorte de décalage angulaire initial),
  • β -> "béta" : utilisé ici comme angle à donné à une roue. Par exemple, β2 est l'angle à donner à la roue 2.
  • δ -> "delta" (minuscule) : utilisé ici comme angle à donner ou lu, par rapport l'axe des X (ordonnées). Par exemple un des paramètres de construction est l'angle δ1 formé par la droite passant par les centres de R1 et R2 et l'axe des ordonnées.
  • Δ -> "delta" (majuscule) : généralement utilisé pour nommé une différence. Dans le tableau ci-dessous, indique une différence permettant d’apprécier la justesse du résultat.

Préparation avec Filengrène :​

Encore merci à l'auteur de ce formidable logiciel et ses supports (vidéos) !
Une approche antérieure m'avait permis d'envisager l'utilisation de roues de 12, 15 et 24 dents. Rappelez-vous que le seul rapport entre 12 et 15 est important pour l'application, car les roues de Z:15 ne sont là que pour transmettre, sans considérer le rapport de division. J'ai constaté que les simplifications utilisées antérieurement avec un rayon primitif par type de roue ne pouvaient plus fonctionner. J'ai utilisé les 3 paramètres suivant, pour les trois couples Z:12+15, Z:12+24 et Z:15+24 :
  • α0:20º,
  • x:0.2 et
  • m0:11mm,
Pour toutes les roues (et pignons). J'ai bien essayé m0:1.1, correspondant à mon besoin, mais ça "interférait" trop, alors j'ai pris m0:11 et ai décidé de diviser par 10 au moment de l'utilisation dans QCad.
Fig_1.png
figure 1

La figure 1 représente une compilation des exports réalisée avec QCad. La division par 10 a été faite, et la représentation des roues de 24 dents ont été modifiées pour permettre de les "terminer" graphiquement ultérieurement. Les valeurs affichées sont les distances entre les axes des couples de roues (enfin, j'ai supposé !). Filengrène dit, si j'ai bien compris, que ça "appuie un peu fort" au pied des dents, mais je reprendrai peut-être la conception plus tard, en particulier en essayant un angle α0 de 30º. De toutes façons, l'excès de précision ne sert à rien, car la découpe au laser des roues en acrylique reste approximative (surtout au Pérou !)…

Disposition :​

Fig_2.png
figure 2

La figure 2 représente la disposition des roues, placées "suffisamment" précisément. Le raisonnement à suivre ne porte que sur les roues 1, 2, 3 et 4. Filengrene nous a donné D1~=15.252268, D2~=20.210037, D3~=21.861955. X4 est égal à 2D1~=30.504536.
Fig_3.png
figure 3

La figure 3 permet de donner les limites applicables à δ1, soit max:124.5º et min:115º. On voit que le min pourrait être plus faible mais on jouera plutôt près du max. Toutes les constantes de construction sont maintenant déterminées.
Fig_4.png

figure 4

La figure 4 montre les calculs à appliquer, et faits dans le tableau :
L'angle β2 est l'angle à appliquer à R2, et vaut
  • β2 : δ1(1+(Z1։Z2))
Le modulo de [l'angle β2 par l'angle entre deux dents] n'est pas affiché directement dans le tableau, mais son complément à l'angle entre deux dents CompMod2, si. Il va nous permettre de déterminer l'angle de référence de R3, nommée R'3 et dessinée en fantôme figure 4. Ce calcul est représenté en vert (ci-dessous, colonne C), et vaut
  • CompMod2 : (360։Z2)-MOD( δ1(1+(Z1։Z2)) ; 360։Z2 )
R3' représente la position de référence de R3. α3 est l'angle de référence de R3. Il vaut un complément appelé "Compα3" conséquence de CompMod2
  • Compα3 : CompMod2Z2։Z3
augmenté de l'angle d'une demie dent (360։48=7.5º). δ2 et δ3 sont mesurés sur le dessin. α3 et δ2 permettent de calculer l'angle β3 qui lui, permet le calcul de l'erreur, en plus d'une représentation correcte de R3. β3, colonne F du tableau, vaut
  • β3 : (360։(2Z3))+Compα3+(δ2(1+(Z2։Z3)))
Notez que la demie dent (les 7.5º) n'est ajoutée qu'au moment du calcul d'erreur (EquA, colonne J). Le "modulo" de β3 par 360։Z3, de R3, devrait idéalement être égal au modulo de β3 par 360։(2Z3), pour R4, afin que ces deux roues soient bien engrenées.

Positionnement des roues R1, R2, R3 et R4:
Pour R4, l'ordonnée X4 est obligée, mais l’abscisse Y4 avait été "approchée" antérieurement. Il est notoire qu'entre les deux paramètres Y4 et δ1, la modification de δ1 a plus d’effet que celle de Y4. Pour ce qui est du tableau "Solution.ods", la méthode d'utilisation est la suivante :
  1. saisir l'angle δ1, colonne, A et / ou Y4, colonne H ;
  2. appliquer l'angle β2 à R2 (optionnel) ;
  3. mesurer et saisir les angles, δ2 colonne E, et δ3, colonne I ;
  4. appliquer l'angle β3 à R3 (optionnel) ;
  5. observer ΔEqu exprimant un angle d'erreur en º, colonne l, et qui doit être le plus proche de 0 possible, bien sûr. Si ce résultat n'est pas satisfaisant, on modifie les valeurs de δ1 et / ou Y4, et on reprend la boucle à partir de l'étape 1.
snap_08.png

--------

snap_08.png


Contenu du tableau (au format ".csv")
δ1;α2;CompMod2;Compβ3;δ2 ?;α3;X4;Y4;δ3 ?;EquA;EquB;ΔEqu
124,1;=A2*(1+(15/12));"=(360/12)-MOD(A2*(1+(15/12));360/12)";=C2*12/24;31,531467;=(360/48)+D2+(E2*1,5);30,504536;24,390419;183,12408;"=MOD(7,5+(I2*(1+(15/24)));15)";"=MOD(F2;360/24)";=ABS(K2-J2)
124,15;=A3*(1+(15/12));"=(360/12)-MOD(A3*(1+(15/12));360/12)";=C3*12/24;31,463297;=(360/48)+D3+(E3*1,5);30,504536;24,390419;183,197495;"=MOD(7,5+(I3*(1+(15/24)));15)";"=MOD(F3;360/24)";=ABS(K3-J3)
124,125;=A4*(1+(15/12));"=(360/12)-MOD(A4*(1+(15/12));360/12)";=C4*12/24;31,497423;=(360/48)+D4+(E4*1,5);30,504536;24,390419;183,160746;"=MOD(7,5+(I4*(1+(15/24)));15)";"=MOD(F4;360/24)";=ABS(K4-J4)
124,12;=A5*(1+(15/12));"=(360/12)-MOD(A5*(1+(15/12));360/12)";=C5*12/24;31,504239;=(360/48)+D5+(E5*1,5);30,504536;24,390419;183,153407;"=MOD(7,5+(I5*(1+(15/24)));15)";"=MOD(F5;360/24)";=ABS(K5-J5)
124,118;=A6*(1+(15/12));"=(360/12)-MOD(A6*(1+(15/12));360/12)";=C6*12/24;31,506964;=(360/48)+D6+(E6*1,5);;;183,150472;"=MOD(7,5+(I6*(1+(15/24)));15)";"=MOD(F6;360/24)";=ABS(K6-J6)
124,121;=A7*(1+(15/12));"=(360/12)-MOD(A7*(1+(15/12));360/12)";=C7*12/24;31,502876;=(360/48)+D7+(E7*1,5);;;183,154874;"=MOD(7,5+(I7*(1+(15/24)));15)";"=MOD(F7;360/24)";=ABS(K7-J7)
124,1195;=A8*(1+(15/12));"=(360/12)-MOD(A8*(1+(15/12));360/12)";=C8*12/24;31,504737;=(360/48)+D8+(E8*1,5);;;183,152892;"=MOD(7,5+(I8*(1+(15/24)));15)";"=MOD(F8;360/24)";=ABS(K8-J8)


Edit : corrections.
 
Fichiers joints
  • Solution.ods
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Résumé des épisodes précédents et résolution par approximation successive "manuelle" mais sans CAO :

tmp2.png

Soit quatre roues dentées R1 à R4 aux formes et dimensions trouvées grâce à Filengrene. Une roue motrice R2 de 12 dents est montée sur un moteur pas-à-pas piloté par un microcontrôleur. On veut pouvoir retrouver une position donnée de la roue centrale R1 de 15 dents portant une aiguille. Pour ce faire, les mouvements de R2 sont également transmis par une roue de 24 dents (le nombre 24 est sans importance du point de vue fonctionnel), à une roue opaque comportant un trou judicieusement placé pour obstruer ou laisser passer la lumière infra rouge d'une "fourche optique", de sorte que le microcontrôleur puisse détecter cette position. Ainsi, quand R1 à fait un tour complet, R4 a également fait un tour complet, mais dans le sens inverse (ce sens n'a aucune importance).

En plus d'obtenir le dessin des 3 jeux de roues {R1-R2}, {R2-R3}, {R3-R4}, Filengrene nous donne les trois distances D1, D2 et D3 entre les axes des roues.

L'ensemble physique constitue une horloge équipée de trois moteurs et donc de trois fourches optiques. Un autre groupe de roues est représenté "en fantôme" sur la Fig_1.png, le troisième est la juste symétrie du premier groupe. L'observation du groupe en fantôme permet de comprendre pourquoi X4 vaut 2xD1. Cet objectif de disposition doit être atteint afin de simplifier grandement le câblage des fourches optiques qui seront alors soudées sur un circuit imprimé.

Le problème est qu'il n'est pas possible de placer les roues au hasard, car en plus d'être aux bonnes distances les unes des autres, elles doivent être engrenées aussi parfaitement que possible. Pour "ajuster" l'engrènement des roues, il est possible de jouer sur un angle noté δ1, et l’ordonnée de l'axe de R4, notée Y4.

Les lecteurs qui auront suivi ce thread depuis le début auront remarqué que l'approche des positionnements corrects se faisait dans un des derniers posts en utilisant un logiciel de CAO pour résoudre le problème de géométrie. Un bon ami a résolu ce problème pour moi de façon très didactique et j'ai ainsi pu inclure le résultat de son travail dans le tableau (Chiclayo.ods joint) antérieurement posté, ce qui fait que les bonnes positions peuvent être trouvées sans utiliser la CAO. Dans le tableau, les "constantes" sont placées dans les premières ligne du haut, et le reste de tableau montre les essais d'approches. α3 est le décalage angulaire à donner à R3 pour qu'elle engrène R2, quand son angle β2 est 0 (Inspirez vous de la roue en fantôme de la fig_4.png pour comprendre). Il y avait deux lignes par essai parce qu’il faut résoudre une équation du second degré (genre Y = aX²+bX+c pour ceux qui se souviennent), et il y a deux solutions mais une seule est applicable. J'ai noté δ2a et δ4a la première solution et δ2b et δ4b la seconde. Les valeurs obtenues utilisées sont indiquées dans une des cellules, par exemple la cellule M6, pour le premier essai) indique la solution utilisée ("Sol.a" ou "sol.b").

Pour finir, la rotation β3 de la roue R3 est calculée puis on calcule le modulo de cet angle par l'angle entre deux dents, noté EquA. Le même type de calcul est fait sur la roue R4 (ça change d'un essai à l'autre si vous approximez en jouant sur Y4) et est appelé EquB pour finalement donner l'"erreur d'engrènement" ΔEqu, qui doit être au plus prêt de zéro.

NOTE : Attention : δ est delta minuscule et Δ est delta majuscule, or LibreOffice (pour le moins) a tendance à placer la première lettre d'un libellé en majuscule, en roman comme en grec : relisez bien si vous manipulez le contenu des cellules.

Également joint, le texte de résolution du problème de géométrie de mon ami (ci-desous), ainsi que son tableau de vérification (Machupicchu.ods)…

Fig_4.png
-------------------------------
Bon, passons au problème.... (il n'est pas sûr que mes lettres grecques
ß et µ avec la convention Unicode sur clavier suisse soient visibles
dans le mail)

Sur le dessin joint (machupicchu parce que ça doit y ressembler), tu
peux empiler les segments de façon horizontale (H) ou verticale (V):
Equation H:
BH + AE = BG + FD
Equation V:
AH + GC = DE + CF
Ces 2 équations s'expriment en fonction de ß1, ß2, ß4, D1, D2, D3 et Y4.
En exprimant ß2 en fonction des autres inconnues dans l'une des
équations et le remplaçant par cette valeur dans l'autre, on a une
équation liant ß4 à ß1, D1, D2, D3 et Y4 (sans ß2). De la même manière
en exprimant ß4 en fonction des autres inconnues dans l'une des
équations et le remplaçant par cette valeur dans l'autre, on a une
équation liant ß2 à ß1, D1, D2, D3 et Y4 (sans ß4).

Valeur des segments:
BH = D1.cos(pi - ß1) = - D1.cos(ß1)
AE = 2.D1
BG = D2.cos(ß2)
FD = D3.cos(pi - ß4) = - D3.cos(ß4)
AH = D1.cos(ß1 - pi/2) = D1.sin(ß1)
GC = D2.sin(ß2)
DE = Y4
CF = D3.sin(pi - ß4) = D3.sin(ß4)

D'où les équations:

Equation H:
- D1.cos(ß1) + 2.D1 = D2.cos(ß2) - D3.cos(ß4)
qui donne pour ß4:
équation Hß4:
ß4 = arccos( (D2/D3 . cos(ß2)) + (D1/D3 . (cos(ß1) - 2)) )
ou pour ß2:
équation Hß2:
ß2 = arccos( (D3/D2 . cos(ß4)) + (D1/D2 . (2 - cos(ß1))) )

Equation V:
D1.sin(ß1) + D2.sin(ß2) = Y4 + D3.sin(ß4)
qui donne pour ß4:
équation Vß4:
ß4 = arcsin( (D1/D3 . sin(ß1)) + (D2/D3 . sin(ß2)) - (Y4/D3) )
ou pour ß2:
équation Vß2:
ß2 = arcsin( - (D1/D2 . sin(ß1)) + (D3/D2 . sin(ß4)) + (Y4/D2) )

En remplaçant ß2 par sa valeur donnée dans l'équation Vß2 dans
l'équation Hß4, on obtient:
ß4 = arccos( (D2/D3 . cos(arcsin( - (D1/D2 . sin(ß1)) + (D3/D2 .
sin(ß4)) + (Y4/D2) ))) + (D1/D3 . (cos(ß1) - 2)) )

En remplaçant ß4 par sa valeur donnée dans l'équation Vß4 dans
l'équation Hß2, on obtient:
ß2 = arccos( (D3/D2 . cos(arcsin( (D1/D3 . sin(ß1)) + (D2/D3 . sin(ß2))
- (Y4/D3) ))) + (D1/D2 . (2 - cos(ß1))) )

Chacune de ces deux équations doivent pouvoir se programmer sur ordi et
se résoudre par approximations successives... (fastidieux, je suppose
que tu l'as déjà fait).... c'est vraiment compliqué....

Par contre, on peut simplifier en mettant les équations H et V au carré.
Au préalable, on va prendre de nouvelles constantes M et N, fonctions
uniquement de D1, Y4 et ß1:
M = - D1.cos(ß1) + 2.D1 = D1.(2 - cos(ß1))
et N= Y4 - D1.sin(ß1)
De cette manière, les équations H et V s'écrivent simplement:
Hsimp :
M = D2.cos(ß2) - D3.cos(ß4)
Vsimp :
N = D2.sin(ß2) - D3.sin(ß4)
Mettons les équations Hsimp et Vsimp au carré:
M^2 = D2^2 .cos^2 (ß2) - 2.D2.D3.cos(ß2).cos(ß4) + D3^2 .cos^2 (ß4)
N^2 = D2^2 .sin^2 (ß2) - 2.D2.D3.sin(ß2).sin(ß4) + D3^2 .sin^2 (ß4)
D'abord on additionne ces deux équations :
M^2 + N^2 = D2^2 .cos^2 (ß2) - 2.D2.D3.cos(ß2).cos(ß4) + D3^2 .cos^2
(ß4) + D2^2 .sin^2 (ß2) - 2.D2.D3.sin(ß2).sin(ß4) + D3^2 .sin^2 (ß4)
puis on utilise les formules de trigo:
M^2 + N^2 = D2^2 - 2.D2.D3.(cos(ß2).cos(ß4) + sin(ß2).sin(ß4)) + D3^2
qui donne :
M^2 + N^2 = D2^2 - 2.D2.D3.cos(ß4 - ß2) + D3^2
puis:
ß4 - ß2 = arccos( (D2^2 + D3^2 - M^2 - N^2 )/(2.D2.D3) )
si on pose:
µ = arccos( (D2^2 + D3^2 - M^2 - N^2 )/(2.D2.D3) )
cela nous donne ß4 en fonction de ß2 ou ß2 en fonction de ß4:
ß4 = ß2 + arccos( (D2^2 + D3^2 - M^2 - N^2 )/(2.D2.D3) ) = ß2 + µ
ß2 = ß4 - arccos( (D2^2 + D3^2 - M^2 - N^2 )/(2.D2.D3) ) = ß4 - µ

On peut ensuite remplacer ß4 par ß2+µ dans l'équation Hsimp et la
résoudre en fonction de ß2 (ou remplacer ß2 par ß4-µ dans l'équation
Hsimp et la résoudre en fonction de ß4). On pourrait aussi utiliser
Vsimp pour l'une ou l'autre variante, mais on a déjà fait une opération
(c.a.d. l'addition des carrés) donc une seule opération est possible.
Dans Hsimp :
M = D2.cos(ß2) - D3.cos(ß4) = D2.cos(ß2) - D3.cos(ß2 + µ)
soit (en utilisant les formules de trigo):
M = (D2 - D3.cos(µ)).cos(ß2) + D3.sin(ß2).sin(µ)
Pour résoudre cette équation le mieux est l'analytique en utilisant les
formules de l'arc moitié :
t = tg(ß2/2)
avec : cos(ß2) = (1-t^2 ) / (1+t^2 ) et sin(ß2) = 2.t / (1+t^2 )
ça donne :
M.(1+t^2 ) = (D2 - D3.cos(µ)).(1-t^2 ) + D3.(2.t).sin(µ)
d'où :
t^2 . (M + D2 - D3.cos(µ)) - 2t . (D3.sin(µ)) + M - D2 + D3.cos(µ)
C'est une équation du second degré avec variable t (=tg(ß2/2)) qui va
nous donner ß2. ß4 s'obtient en additionnant µ.
---------------------------------------------

Note: ce site était bien fait, mais il a été bien dégradé, en particulier en supprimant la possibilité de modifier son propre post. Il apparaît clairement pourquoi dans mon dernier post (Cat83 : ce sont les clicks qui rapporte). Merci aux amis et adieu usinage.com.
 
Fichiers joints
  • Chiclayo.ods
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  • Machupicchu.ods
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FB29
FB29
Rédacteur
supprimant la possibilité de modifier son propre post
On peut le faire durant 24h je crois. C'est vrai que parfois c'est un peu enquiquinant, mais tu peux quand même recopier un ancien post pour le remodifier. Pour les cas critiques tu peux aussi demander à un modo de rouvrir le post en question.
 

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