mesure d'une règle prismatique

Bonjour à toutes et tous,

Je me prépare à gratter une fois de plus les glissières en queues d'arondes de mes petites machines. Pour cela, j'ai besoin d'une règle prismatique avec un angle à 60° suffisamment longue, afin de marquer au bleu l'intérieur des glissières. J'avais déjà fait un modèle pour cela, mais il était trop court pour être vraiment utilisable. J'ai donc décidé d'en faire un nouveau, et tant qu'à faire de le faire sous forme d'une règle complète, avec trois angles à 60°.

Ma fraiseuse étant de petite taille (il s'agit d'une SX2P), la table a une course limité à environ 270mm. Je désire faire une règle de 600mm et donc doit l'usiner en plusieurs passes, en la bridant plusieurs fois. Il est clair qu'entre les angles à 60° (et pas à 45 ou 90°) et la limitation de la course, j'allais rencontrer des difficultés pour faire des surfaces planes. C'était prévu, et bien entendu c'est ce qui c'est passé.

Ma démarche a été de commencer par me fabriquer deux vés à 60°, puis à usiner les différentes faces petit à petit. Je suis parti d'un barreau rond de fonte, j'ai grossièrement fait une première face, en tentant de rester le plus droit possible quand je devais rebrider la pièce. À la fin, j'ai eu un truc vaguement triangulaire et avec des marches prononcées vers le tiers de la longueur. Une deuxième série de passages au fly-cutter a légèrement amélioré les choses, mais c'était toujours loin d'être une règle.

Afin de passer de ces surfaces avec des marches à des plans, j'ai tout fait par grattage manuel au bleu. J'avais changé mon marbre il y a quelques mois en prévision de ce projet, désormais j'ai un marbre de 600mm, ce qui est adapté. Il est clair qu'en raison des défauts de l'usinage grossier préliminaire, la partie grattage est… longue. Cela fait quelques week-ends que je suis la dessus. Toujours est-il que j'ai finalement obtenu un prisme triangulaire à peu près propre. Je me doutais cependant que les angles obtenus n'étaient probablement pas exactement à 60°, je souhaitais donc les mesurer précisément pour savoir comment me rapprocher de mon objectif.

Mesurer des surfaces inclinées n'est pas franchement évident, surtout quand on n'est pas certain de l'angle de l'inclinaison et encore pire quand en fait il y a plusieurs surfaces inclinées, avec des erreurs certainement légèrement différentes d'une surface à l'autre. J'ai donc adapté la démarche suivante, que je partage avec vous au cas où cela pourrait être utile à d'autres membres du forum.

Le principe est très classique : on utilise des piges cylindriques de diamètre précis et connu, on les plaque contre la surface inclinée, et on mesure la dimension prise à l'extérieur des piges. Dans mon cas, il y a une petite difficulté supplémentaire car il y a deux surfaces inclinées (et pas forcément du même angle), il faut donc deux piges. Si on connaissait les angles mais que l'on voulait simplement obtenir la taille de la règle, on se contenterait d'appliquer une formule de trigonométrie. Ici, on ne connaît pas les angles, car c'est justement cela que l'on cherche à déterminer. On doit donc établir ladite formule de trigonométrie pour avoir la relation entre la mesure et toutes les inconnues, qui sont les différents angles et la taille de la règle. Comme il y a plusieurs inconnues, il faut plusieurs mesures. On peut faire des mesures en posant la règle alternativement sur ses trois faces, mais on peut aussi faire les mesures avec des piges de diamètres différents. Afin d'augmenter encore plus le nombre de mesures, on peut faire reposer les piges soit directement sur le marbre au même niveau que la règle, soit les surélever sur des cales de hauteurs précises et connues.

Le schéma suivant montre le principe de mesure et donne la formule (compliquée) en fonction des éléments connus (diamètre des piges et hauteur des cales) et des éléments inconnus (angles de la règle et taille).


Si cela vous intéresse, ce schéma a été réalisé avec geogebra. Le fichier source est disponible ici : prismatic-rule.ggb, il y a des curseurs en haut pour jouer avec les paramètres comme le rayon du cercle circonscrit, deux des trois angles (le troisième se déduit des deux premiers), les diamètres des piges et la hauteur des cales.

La formule de la mesure est la grosse formule en violet en haut du schéma. Bien sûr si on n'utilise pas de cales, cela revient à mettre hₖ = 0 dans cette formule.
Pour que la mesure soit possible, il faut que les piges reposent proprement sur les cales. Si pour une hauteur de cale hₖ on prend un diamètre de pige dₖ trop petit, quand on va mettre la pige en contact avec la surface inclinée, elle va tomber entre la règle et la cale : il y a donc un diamètre minimum à utiliser. On peut calculer ce diamètre minimum en disant que le coin de la cale ne doit pas entrer en collision avec la règle. Si a contrario pour une hauteur de cale hₖ on prend un diamètre de pige dₖ trop grand, alors le point de contact entre la pige et la règle va monter au point de dépasser le sommet de la règle : il y a donc un diamètre maximum à utiliser. On peut calculer ce diamètre maximum en disant que le point de contact doit rester au dessous du sommet de la règle. Ces deux conditions sont exprimées dans les équations en rouge sombre en bas à droite (il y a quatre conditions car il y a deux conditions pour la pige à gauche et deux conditions pour la pige à droite).

Voici quelques photos de la séance de mesures que je viens de faire cet après midi.

D'abord une vue d'ensemble


Une vue un peu plus rapprochée :


Et une vue directement dans l'axe, comparable au schéma :


Prendre les mesures n'est pas très simple dans la pratique. Si on prend des piges petites et sans cale, un micromètre va buter contre le marbre. Je pensais donc utiliser un pied à coulisse pour les petites piges et passer au micromètre quand je ferais les mesures avec les diamètres plus confortables. En fait, cela n'a pas été possible car si les enclumes du micromètre se positionnent correctement, quand on les rapproche pour réaliser la mesure, elles font remonter les piges le long des pentes ! Il faut donc une main pour tenir les piges en bas, une pour tenir le micromètre, et une troisième pour manipuler le barillet. On doit pouvoir s'en sortir à deux, mais tout seul j'ai été incapable de le faire. J'ai dû me résoudre à faire les mesures au pied à coulisse que l'on peut manipuler d'une main.

La photo suivante montre une des mesures, au détail près que je ne tiens pas les piges pour la photo car mon autre main tenait le téléphone pour prendre ladite photo...


Au bout de deux bonnes heures, j'avais réalisé 84 mesures.

La formule compliquée en haut de mon schéma n'est pas inversible, et de toute façon avec le nombre de mesures que j'avais réalisées, le problème devenait sur-déterminé. Pour le résoudre, il faut passer à des techniques de type résolution par moindres carrés. Je vous passe les détails, ce n'est pas l'objectif de cette discussion. Si l'une ou l'un d'entre vous souhaite refaire ce genre de mesures, j'ai créé un petit programme qui fait les calculs. Je l'ai mis à disposition sous forme d'un petit logiciel libre, les sources sont disponibles sous github, avec des exemples et des tests. L'un des cas tests correspond justement aux mesures que j'ai faites cet après midi ( et le fichier source geogebra est également là).

Le résultat que j'ai obtenu est que la section de ma règle correspond à un triangle dont les trois angles aux sommets sont respectivement de 59.715°, 60.510° et 59.775°. La taille du triangle est donnée par le rayon du cercle circonscrit, qui vaut 21.275mm. Mes mesures ne sont pas trop mauvaises, si je regarde les résidus ils sont de l'ordre de 2 ou 3 centièmes, ce qui me semble raisonnable compte tenu de la précision d'un pied à coulisse et des conditions de mesures assez laborieuses.

J'ai donc une règle un peu bancale. Si je veux l'améliorer pour que la section soit réellement isocèle, il faut que j'enlève un peu plus de 0.18mm au bout d'une des faces et un peu moins de 0.15mm au bout d'une autre face. Je ne vais pas le faire tout de suite, car il me faut d'abord refaire une série de mesures à l'autre extrémité de la règle. Je suis à peu près certain que les angles à l'autre bout seront différents et que ma règle s'avèrera légèrement vrillée.

Une fois que j'aurais une idée de la géométrie générale, il faudra que je trouve comme la corriger. Je pense qu'il me faudra réusiner mes vés spécifiquement en fonction de la correction et repasser au fly-cutter car 0.18mm c'est beaucoup trop pour faire ça au grattoir.

Je dispose bien d'un diviseur (le kit Hemingway « versatile dividing head » de G. Thomas), mais effectivement cela prenait trop de place sur la table, entre la longueur du diviseur et la longueur de la contre-pointe. En posant simplement la règle sur deux vés, elle pouvait dépasser de la table à gauche ou à droite, ce qui me permettait d'usiner toute la longueur.

Je suis d'accord avec le fait que l'angle aurait pu être inférieur à 60°, mais bon, je suis un peu perfectionniste. J'étais également inquiet quant à ma capacité à respecter le parallélisme des deux queues d'arondes si ma règle ne touchait que la face inclinée et pas la face horizontale simultanément. En effet, si c'est juste moi qui devais tenir la règle en suspens pour qu'elle touche la face inclinée, j'avais peur de la tenir un peu de guingois (par exemple l'extrémité dans ma main gauche plus haute que celle dans ma main droite, ou le contraire). Je craignais de créer ainsi une droite de déplacement (l'intersection des deux plans de la queue d'aronde) qui monte ou descende. Avec une règle reposant sur une face horizontale créée en premier, au moins ma droite de déplacement était assurée d'être horizontale. La difficulté reste de faire en sorte que la droite correspondante à la queue d'aronde gauche soit parallèle à celle de la queue d'aronde droite, mais cela revient à gérer juste un angle de pincement dans le plan, pas de gérer simultanément un angle de pincement et un angle de plongée.

Dans ces conditions, si j'avais fabriqué une règle avec un angle légèrement trop petit, alors au moins l'un des deux autres angles aurait été trop grand (car la somme des angles d'un triangle vaut toujours 180°, au moins en géométrie euclidienne) ; j'aurais alors dû prendre des précautions pour toujours utiliser le même angle pour une glissière donnée. Avec trois angles vraiment très proches, je ne me préoccupe pas de l'angle que j'utilise sur ma règle.

Pour information, j'ai fini la règle, et cela m'a pris des mois. Mon message initial date de Juin 2024, et j'ai fini la règle… en janvier 2025 ! Les résultats finaux sont des erreurs comprises entre -0.009° et +0.006° pour des faces ayant un peu moins de 35mm de large, mais en fait je suis à la limite de ce que je peux mesurer (35mm * tan(0.009°) ≈ 5.5µm). Ces résultats sont obtenus avec 159 mesures (78 à une extrémité, 81 à l'autre, en éliminant quelques mesures aberrantes). Cela a effectivement nécessité *beaucoup* de patience, et j'avoue avoir craqué plusieurs fois, ce n'est pas pour rien que le projet s'est étalé sur de nombreux mois.

Je suis entièrement d'accord avec @yvon29 en ce qui concerne la procédure, c'est bien ce que j'ai commencé à faire, à un détail près : j'ai fait les deux surfaces horizontales en premier, en commençant par celle du socle, que l'on peut poser sur le marbre, puis celle du chariot en utilisant le socle comme référence. Je n'ai ensuite commencé les faces inclinées que dans un second temps, en commençant par celles du chariot, car désormais les faces planes correspondantes sont bien « horizontales » et ma règle à angles précis peut prendre appui sur ces faces horizontales, ce qui me rassure, comme je l'ai expliqué quelques paragraphes plus haut. Une fois que j'aurais rendu les deux faces inclinées bien planes (je n'en suis pas encore là), je vérifierais le pincement avec des piges et un micromètre ayant une capacité suffisante. Puis, je m'occuperais de la face inclinée de référence du socle, et je finirais par le lardon (mais sur une petite fraiseuse comme ça, le lardon est assez rudimentaire, une simple bande de métal par très épaisse). Un fois cette étape terminée, j'aurais le mouvement en Y de ma fraiseuse correctement ajusté.

La phase suivante sera de faire les faces horizontales des glissières en X du chariot, avec le marbre comme référence et en utilisant un palpeur pour vérifier que je reste parallèle aux glissières en Y. Puis je ferais les faces horizontales inférieures de la table, puis les faces inclinées de la table, et enfin les faces inclinées du chariot, selon la même procédure de ce que j'aurais fait en Y. Il y aura une difficulté supplémentaire là : il faudra que le mouvement en X soit bien perpendiculaire au mouvement en Y, je devrais palper une équerre de référence bridée sur la table pour ça. J'avais déjà fait ça lors de ma première tentative de rectifier ma fraiseuse ici.

J'en ai encore pour quelques mois, … je suis patient.

Je remercie tous les participants à cette discussion, vos messages et vos encouragements me font du bien, d'autant que je suis vraiment un bleu dans l'usinage (mes messages laissent clairement transparaître que mon domaine d'expertise, ce sont plutôt les maths, j'espère ne pas trop vous saouler avec ça).

misty soul a dit:

En effet, si c'est juste moi qui devais tenir la règle en suspens pour qu'elle touche la face inclinée, j'avais peur de la tenir un peu de guingois (par exemple l'extrémité dans ma main gauche plus haute que celle dans ma main droite, ou le contraire). Je craignais de créer ainsi une droite de déplacement (l'intersection des deux plans de la queue d'aronde) qui monte ou descende

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Je viens juste de me rendre compte de la stupidité de mon raisonnement !
Si les surfaces horizontales sont déjà grattées horizontalement, la droite de déplacement sera une des droites du plan horizontal et donc sera par construction horizontale, même si je tiens la règle de travers.